Фамилия Дробничев звучит редко и несколько нарочито, что сразу наводит на мысль о её искусственном, книжном происхождении. В отличие от большинства русских фамилий на -ов, образованных от крестильных имён или простонародных прозвищ, основа «Дробнич» явно тяготеет к церковнославянской или южнославянской традиции. Разберём её по косточкам.

Корень «дроб-» в русском языке многозначен: это и «дробить» (мельчить, разбивать), и «дробь» (мелкие частицы, а также охотничья дробь). Однако суффикс «-нич» здесь не типичен для русского словообразования. В русских фамилиях на -ич обычно указывают на отчество (Сергеевич, Никитич) или на принадлежность к профессии через суффикс -ник (охотник — Охотничев). А вот сочетание «дроб- + -нич» — это почти калька с сербских или болгарских фамилий, где -ич — стандартный патронимический суффикс, а «дроб» может означать «овца» (от южнославянского *drobъ — мелкий рогатый скот) или, опять же, «дробь» в значении «мелочь».

Самая правдоподобная версия: фамилия Дробничев — это русифицированная форма сербской или болгарской фамилии Дробнич. В XIX веке, после Русско-турецких войн и освобождения Балкан, в Россию переселилось много южных славян, получавших образование или службу. Их фамилии на -ич при записи в русские метрики часто обрастали русским суффиксом -ев, чтобы вписаться в местную систему (ср. Милорадович — Милорадовичев, хотя чаще оставляли без изменений). Таким образом, Дробничев — это «сын Дробнича», а сам Дробнич, вероятно, означал «человек, связанный с дробью»: либо охотник, заряжающий ружьё дробью, либо, что вероятнее, пастух (от «дроб» — овца) или торговец мелким товаром.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — происхождение от прозвища Дробня. В северных русских говорах «дробня» — это мелкий, суетливый человек, либо тот, кто постоянно что-то дробит (например, камнедробильщик на мельнице). От Дробни образовалась бы фамилия Дробнин, но через форму «Дробнич» (как отчество: «чей сын? — Дробничев») — такой путь встречается, но он сложен и редок. Географически фамилия Дробничев почти не встречается в старых переписях центральной России; её носители в основном фиксируются в южных регионах (Кубань, Ставрополье) и в среде потомков переселенцев с Балкан.

Итог: скорее всего, ваш предок был не крестьянином с сохой, а человеком, фамилия которого пришла из южнославянского ареала. Он мог быть пастухом, охотником или мелким торговцем, а сама фамилия прошла через двойную фильтрацию — сначала сербское отчество на -ич, потом русский суффикс -ев для благозвучия.