Фамилия Дроботенко происходит от прозвища Дробот. Его основа — диалектный глагол «дроботить», который в курско-орловских говорах означал «говорить скороговоркой». Таким образом, Дроботом в народе называли человека с быстрой, торопливой речью. Прозвище закрепилось за носителем, а со временем полностью вытеснило прежнее имя и в быту, и в документах.

Фамилия образована по типичной для украинской и южнорусской ономастики модели с суффиксом -енко. Этот суффикс первоначально имел значение «маленький», «сын», то есть Дроботенко — это «сын Дробота». Такая модель фамилий особенно характерна для Левобережной Украины и прилегающих областей России, включая Курскую и Орловскую губернии. Именно там, в зоне бытования курско-орловских говоров, глагол «дроботить» и был распространён, что географически точно связывает фамилию с местом своего возникновения.

Интересно, что у слова «дробот» есть и другие значения, не связанные с речью. В некоторых говорах так называли шум, грохот, дробный стук. Теоретически прозвище могло закрепиться за шумным, суетливым человеком. Однако версия с «говорением скороговоркой» выглядит предпочтительнее: она более конкретна и лучше объясняет, почему прозвище выделило человека среди окружающих. Вариант с «шумом» менее характерен для прозвищ, которые обычно подмечают яркую, бросающуюся в глаза черту поведения.

Фамилия Дроботенко — пример того, как диалектное слово, сегодня почти забытое, сохранилось в родовом имени. Носители этой фамилии встречаются в основном в Курской, Белгородской, Воронежской областях России, а также на востоке Украины — то есть в пределах того самого ареала, где когда-то «дроботили».