Фамилия Дробоцкий — типичный пример фамилии, образованной по польско-белорусской модели с суффиксом -цкий. Этот суффикс указывает на связь с географическим названием: такую фамилию мог получить человек, владевший землёй или живший в населённом пункте с корнем «Дробот-» или «Дробоц-». В Речи Посполитой, откуда фамилия распространилась на восток, окончание -цкий чаще всего носили шляхтичи, но со временем его переняли и крестьяне, переселявшиеся из одной деревни в другую.

Основа фамилии восходит к слову «дробот» — в старопольском и западнорусских говорах так называли шум, грохот, стук. Прозвище Дробот могли дать человеку шумному, суетливому или, наоборот, работающему с дробящими инструментами — например, мельнику, кузнецу или камнетесу. В украинских диалектах «дрiбот» означает мелкий шаг или частую дробь, что тоже могло стать источником прозвища для быстрого, порывистого человека.

Споров вокруг этимологии почти нет: версия с географическим названием считается основной, а прозвищное значение — дополнительной. Слабая гипотеза — связь с глаголом «дробить» в значении «мельчить зерно» — не находит подтверждения в словообразовании, так как суффикс -цкий нехарактерен для фамилий от ремесла.

Фамилия редкая, встречается в основном в западных регионах России, в Беларуси и на востоке Польши. В дореволюционных источниках носители Дробоцких фиксировались среди мещан и однодворцев, что указывает на обедневшую шляхту или вольных крестьян. Вариант написания с буквой «о» во втором слоге — Дробоцкий — закрепился в русской транскрипции, тогда как в польском языке фамилия выглядела бы как Drobocki.