Фамилия Дробоцкая звучит как типичная «географическая» фамилия, и это первая и главная версия её происхождения. Она образована по модели, распространённой в западных и юго-западных регионах Российской империи — на землях современной Беларуси, Украины и Польши. Суффикс -цк- указывает на связь с топонимом: предок носительницы фамилии, скорее всего, происходил из населённого пункта с названием Дроботы, Дроботцы, Дроботка или Дробоцк. Такие названия встречаются в польском и белорусском языковом пространстве, хотя в современных справочниках они редки или исчезли. Фамилии на -ский/-цкий в старину были маркером шляхетского или служилого сословия, но к XIX веку их активно перенимали и крестьяне, и мещане при переходе на официальные метрики.

Основа фамилии — «дробот» — может иметь два значения. Первое: польское «drobet» (мелочь, дробь) или украинское «дрiб» (мелкий). Второе, более вероятное в контексте прозвища: «дробот» — это диалектное название трещотки или шума, а также глагол «дроботать» (стучать, тарахтеть, говорить быстро и невнятно). Прозвище Дробот могли дать человеку суетливому, говорливому или, наоборот, занимающемуся ремеслом, связанным с дроблением — например, толокняному делу или помолу зерна. В польских источниках встречается и фамилия Drobocki, что подтверждает связь с топонимом, а не с профессией.

Форма Дробоцкая — женский вариант. Мужская пара — Дробоцкий. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Дробо́цкая. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто означают «сын такого-то», окончание -цкий говорит о владении или принадлежности к месту: «тот, кто из Дробот». В современной России фамилия встречается нечасто, что подтверждает её локальное происхождение. Сравните с однокоренными: Дробот, Дробицкий, Дробуш — все они указывают на общий корень, но разошлись по разным словообразовательным моделям. Если ваши предки носили фамилию Дробоцкая, их корни стоит искать в западных губерниях — Гродненской, Минской или Волынской, где подобные фамилии на -цкий были нормой.