Фамилия Дрогаева — женская форма фамилии Дрогаев, и её разбор стоит начать с мужского варианта, потому что именно он хранит ключ к происхождению. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Дрогай. Оно образовано от глагола «дрогать» — в старых говорах это означало «дрожать, трястись». Человек с таким прозвищем мог получить его за нервный нрав, заикание, неуверенную походку или за то, что его постоянно била дрожь — от холода, болезни или страха.

Суффикс -ев в фамилии Дрогаев указывает на принадлежность: Дрогаев буквально значит «сын Дрогая» или «из рода Дрогая». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -ай: ср. Ломай → Ломаев, Бросай → Бросаев. Двойное написание — Дрогаев/Дрогаев — не ошибка, а отражение живого произношения: в ряде говоров «о» и «а» в безударной позиции звучали одинаково, поэтому на письме фамилию могли фиксировать по-разному. Встречаются и варианты Дрогин, Дрожжин, но они образованы от других корней.

По сословной принадлежности фамилия Дрогаевых, скорее всего, относится к крестьянской или мещанской среде. Прозвища, описывающие физические или поведенческие особенности, обычно давали в простонародье, а не в дворянских кругах, где чаще брали основу от церковных имён или географических названий. В архивных записях XIX века Дрогаевы встречаются в центральных и южнорусских губерниях — например, в Курской, Воронежской, Тамбовской. Это подтверждает бытование глагола «дрогать» именно в южнорусских диалектах.

В ономастике нет единого мнения, что первично — прозвище или имя. Словарь русских фамилий Б. Унбегауна относит подобные образования к прозвищным, а не к календарным именам. И это логично: в святцах имени Дрогай нет, а значит, фамилия родилась на улице, в быту, а не в церковной книге.

Итак, носительница фамилии Дрогаева может считать своим предком человека, которого окружающие запомнили как дрожащего, трясущегося — возможно, слабого здоровьем, возможно, просто пугливого. Никакой трагедии в этом нет: прозвища давали без злого умысла, по яркой примете, и со временем они становились нейтральными фамильными знаками.