Фамилия Дрождина — женская форма от Дрождин, и её основа, скорее всего, связана не с глаголом «дрожать», а с прозвищем или профессией. В русских говорах слово «дрожда» или «дрождь» могло означать «дрожжи» — отсюда и прозвище Дрожда для человека, который занимался изготовлением или продажей дрожжей, либо же был пивоваром или квасником. Модель образования простая: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Дрожды), поэтому Дрождин буквально значит «потомок Дрожды».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «дрожь» в значении «дрожащий, робкий человек». Однако в ономастике такие прозвища от физических недостатков или черт характера встречаются реже, чем от ремёсел. Кроме того, в старых документах встречаются фамилии Дрожжин и Дрожжинский — они однозначно восходят к «дрожжам», и Дрождин может быть фонетическим вариантом на той же основе.

Обратите внимание на суффикс -ин: он характерен для северных и центральных русских областей, где фамилии часто образовывали от прозвищ, оканчивающихся на -а/-я. Географически носители фамилии Дрождина встречаются в Вологодской, Костромской и Архангельской областях — как раз в зоне бытования «окающих» говоров, где форма «Дрожда» звучала естественно. Сословно предки могли быть крестьянами или посадскими людьми, ремесленниками, связанными с приготовлением хлеба и напитков.

Таким образом, если вы носите фамилию Дрождина, ваши предки, скорее всего, жили на Русском Севере и занимались делом, связанным с брожением: варили пиво, ставили квас или торговали дрожжами.