Фамилию Дрождецкая стоит разбирать не с корня, а с суффикса. Окончание «-ая» и суффикс «-цк-» — верный признак того, что перед нами фамилия польского или западнорусского происхождения, образованная по модели польской шляхты. В русской традиции такие фамилии на «-цкий/-цкая» обычно указывали на географическое название — село, местечко или усадьбу, откуда был родом первый носитель. То есть Дрождецкая — это «та, что родом из Дрождец» или «из Дрождецкого».

Где искать эти Дрождецы? Скорее всего, топоним связан со словом «дрождь» — старой формой слова «дрожжи». В славянских говорах «дрожди» означали не только осадок при брожении, но и топкое, зыбкое место, болотце, где земля «дрожит» под ногами. Отсюда же названия вроде Дрождино, Дрождево. Не исключено, что предок Дрождецкой жил в селе, стоящем на сырой, хлябистой почве. Вторая версия, менее правдоподобная, выводит фамилию от прозвища Дрождь — так могли назвать человека, который постоянно дрожал от холода или болезни, либо, в переносном смысле, боязливого. Однако суффикс «-цк-» упорно указывает на географию, а не на личное прозвище.

В польских метриках и документах Великого княжества Литовского встречаются похожие фамилии: Дрождз, Дрождзевский, Дрождзецкий. С учётом того, что «дрожди» — слово общеславянское, фамилия могла закрепиться и на территории современной Беларуси, и в западных областях России. Социальный контекст: носительницы фамилии Дрождецкая в XIX веке с высокой вероятностью происходили из мелкопоместной шляхты или из крестьян, получивших фамилию по месту жительства после отмены крепостного права. Однозначно определить сословие без конкретных архивных записей нельзя, но модель образования намекает на дворянский или однодворческий корень.

Что касается современности, фамилия редкая. В открытых базах данных она встречается единично, преимущественно в центральной России и на Украине. Ударение, судя по аналогичным фамилиям (Коржецкая, Ложецкая), падает на второй слог: Дрожде́цкая.