Фамилия Дрючко звучит необычно, и её происхождение напрямую связано с прозвищем. В основе лежит слово «дрюк» или «дрючок» — так в южных и западных говорах называли длинную жердь, дубину или рычаг. Человек мог получить такое прозвище за высокий рост и худощавое телосложение, напоминающее жердь, либо за крутой нрав — «дрюк» ассоциировался с чем-то прямым и твёрдым. В некоторых диалектах слово имело и переносное значение: упрямого, несговорчивого человека.

Суффикс -ко характерен для украинской и белорусской ономастики. В этих языках фамилии на -ко часто образовывались от прозвищ или названий профессий без дополнительных патронимических суффиксов. Дрючко — типичный пример такой модели: прозвище Дрюк (или Дрючок) напрямую превратилось в фамилию. География фамилии подтверждает западнорусское происхождение: чаще всего Дрючко встречается в Сумской, Черниговской и Брянской областях, на стыке Украины и России.

Есть и менее очевидная версия, которую приводят некоторые ономасты. В древнерусском языке «дрючити» означало «бить, колотить». Тогда прозвище Дрючко могло закрепиться за человеком с тяжёлой рукой или за тем, кто работал с дубиной — например, за сторожем или пастухом, отбивавшимся от зверей. Однако эта гипотеза слабее: глагол редок, а связь с конкретным предметом — жердью — лежит на поверхности.

По сословной принадлежности предки Дрючко, скорее всего, были крестьянами или казаками. Фамилия не несёт дворянского оттенка и не связана с духовенством. В ревизских сказках XIX века Дрючко встречаются среди государственных крестьян Черниговской губернии, что указывает на непривилегированное, но свободное сословие. Редкость фамилии объясняется её узкой диалектной базой: за пределами юго-западных земель слово «дрюк» было малоупотребительно.