Фамилия Джиг — редкий случай, когда за коротким звучанием кроется сразу несколько версий происхождения, и самая убедительная из них ведет в Белоруссию. Там, в белорусском языке, есть слово «джыг» — свист розгами, удар хлыстом, образованное от глагола «джыгаць» (хлестать, хлестнуть). Скорее всего, фамилию дали не ребенку, а взрослому человеку по его занятию: вознице, погонщику лошадей или пастуху, который постоянно орудовал кнутом. Прозвище Джиг могло приклеиться и к человеку с острым, «хлестким» языком — метафора тут прозрачная.

Менее распространенная, но тоже возможная версия выводит фамилию из литовского языка. Глагол džiaugtis означает «радоваться», и Джиг в этом случае могло быть мирским именем-пожеланием. Но лингвисты склоняются к белорусскому корню: он точнее объясняет и суффиксальную модель (фамилия осталась без типичного русского суффикса -ов/-ин, что как раз характерно для белорусской ономастики), и бытовую логику прозвища.

Сама фамилия стоит в чистой форме, без патронимических окончаний — это тоже подсказка. В русской традиции такие «голые» фамилии редкость, а вот в Белоруссии и на западе Украины они встречаются чаще. Так что, если ваши предки — Джиги, скорее всего, они были либо подстегивающими лошадей возницами, либо людьми с острым языком, либо (что реже) выходцами из Литвы, носившими имя со смыслом «радость».