Фамилия Дзюрич звучит необычно для русского уха, и это прямой намёк на её происхождение. Перед нами типичная фамилия южнославянского, скорее всего сербского или хорватского, корня. Об этом говорит суффикс -ич: в сербохорватском языке это самый распространённый патронимический суффикс, аналог русского -ов/-ев или -ин. Он указывает на принадлежность к роду: «Дзюрич» означает «сын Дзюры» или «потомок Дзюры».

Основа фамилии — имя Дзюра, которое является уменьшительной или диалектной формой имени Джура (серб. Ђура), а оно, в свою очередь, — вариант имени Георгий (в болгарском и сербском — Георги, Джордже). Имя Георгий, пришедшее из греческого (земледелец), в южнославянской среде дало множество производных форм: Джуро, Джура, Джурич, Джуричич. Русское ухо могло бы записать эту фамилию как «Джурич», но написание через «дз» — не ошибка, а либо диалектное произношение (цоканье или дзеканье, свойственное некоторым говорам), либо особенность передачи сербской кириллицы латиницей и обратно. В сербской латинице буква Đ (đ) читается как мягкое «джь», но при записи на русский её иногда передают как «дз» или «дь».

Таким образом, фамилия Дзюрич — чистой воды патроним. Предок носителя этой фамилии был, скорее всего, жителем Балканского полуострова (современные Сербия, Черногория, Босния и Герцеговина, Хорватия), которого в быту звали Дзюра (Джура). Кем он был по сословию — сказать трудно. В сербской среде фамилии на -ич не были привилегией знати, они охватывали и крестьян, и горожан. Однако сам факт, что фамилия дошла до нас в таком виде, а не была русифицирована в Дзюров или Дзюрин, говорит о её относительно позднем появлении в русском контексте — вероятно, в XIX–XX веках, в результате миграции или смешанных браков.

Интересная деталь: в отличие от русских фамилий, которые часто застывают в форме родительного падежа множественного числа (Петров — чей? Петров), сербские фамилии на -ич склоняются по-другому и сохраняют ударение на корне (Дзюрич — Дзюрича). В русском языке эту фамилию обычно склоняют как мужскую (приехал к Дзюричу) и не склоняют как женскую (у Анны Дзюрич). Если вы ищете свои корни, географию стоит сузить до регионов бывшей Военной границы или Герцеговины — там фамилии на -ич особенно плотны.