Фамилия Еголаев, при взгляде на её окончание, образована по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени, оканчивающегося на -ай, через притяжательный суффикс -ев. То есть предка звали Еголай, а его потомок стал «чей? — Еголаев». Разберём, что скрывается за этим нечастым именованием.

Слово «еголь» в русских говорах означало черепок от битой посуды, осколок глиняного горшка. От него и образовали прозвище Еголай. Такое прозвище могло относиться к так называемым профессиональным именованиям. Если человек постоянно имел дело с битой посудой, логично предположить, что он сам её делал. Основатель рода Еголаевых, скорее всего, был гончаром или горшечником. В быту мастера часто называли не по ремеслу, а по продукту его труда или отходам производства — отсюда и прозвище Еголай.

Обратите внимание на словообразовательный нюанс: суффикс -ай в прозвищах нередко придаёт имени оттенок просторечия или принадлежности к определённой среде (сравните: Ломай, Болтай, Стреляй). В случае с Еголаем этот суффикс «прикрепился» к основе «еголь-», превратив нарицательное существительное в личное прозвище. Подобная модель встречается в фамилиях Колаев (от кол — кол, колотить) или Шишаев (от шиш — острый предмет), но Еголаев стоит особняком из-за редкой основы.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где были сильны гончарные промыслы и где в диалектах бытовало слово «еголь». Это, прежде всего, центральные и южнорусские области, а также Поволжье. Встречаемость фамилии невысока, что говорит о её локальном происхождении: прозвище закрепилось в одной конкретной местности, за одной семьёй гончаров.

Написание фамилии устойчиво: Еголаев, а не Егалаев или Еголев. Это подтверждает, что в основе лежало именно прозвище Еголай, а не, скажем, искажённое имя Егор или Ефим. Варианты с «о» во втором слоге (Еголаев) и с «а» (Егалаев) могли бы указывать на разное произношение в говорах, но исторически закрепился первый вариант.