Фамилия Екимченков — характерный пример того, как в русской ономастике крестьянское имя обрастало уменьшительными суффиксами и превращалось в отчество, а затем и в родовое прозвище. В основе лежит каноническое имя Иоаким (др.-евр. «Яхве воздвигнет»), которое в народном произношении потеряло начальный гласный и перешло в форму Еким. Это типичная восточнославянская адаптация: сравните Аким, Яким, Еким — все варианты одного корня.

Словообразовательная цепочка здесь тройная. Сначала от имени Еким образовали уменьшительное Екимка (с суффиксом -к-). Затем от него по модели «чей сын?» возникло отчество Екимченков, где суффикс -енк- указывал на молодого человека или потомка, а -ов закрепил принадлежность. Такая модель характерна для южнорусских и украинских земель: фамилии на -енков (Ефименков, Гавриленков) часто встречаются в бывших чернозёмных губерниях — Курской, Воронежской, Харьковской.

Примечательно, что фамилия могла возникнуть и в среде однодворцев — особого сословия пограничных служилых людей, которые сочетали черты крестьян и мелкопоместных дворян. У однодворцев фамилии на -енков фиксируются с XVII века, причём нередко в форме без конечного -ов: Екимченко. Вариант с -ов — результат обрусения и подгонки под стандарт великорусских фамилий. Поэтому предки носителя фамилии Екимченков могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми южного порубежья.

Встречается и более редкая гипотеза, что основа не от имени, а от прозвища Екимка, которое в некоторых говорах давали человеку с тихим, «екимским» голосом. Но это объяснение уступает первому по убедительности: подавляющее большинство фамилий на -енков восходит к крестильным именам, а не к прозвищам по признаку. Так что с высокой долей вероятности ваш предок по мужской линии носил имя Еким (Иоаким), а его сына или внука в документах записали как Екимченкова — «сына Екимки».