Фамилия Елетников — редкий пример, где основа не лежит на поверхности. Первое, что приходит в голову: не связана ли она с «елеем» (церковное масло) или с устаревшим «елеть»? Но здесь работает другая модель.

Самый вероятный источник — диалектное слово «елетник» или «ялетник». В южнорусских и украинских говорах так называли ольховый лес, ольшаник. Человек, живший у такого леса или в нём, получал прозвище Елетник. Суффикс -ник в прозвищах часто указывал на местность: кто живёт у реки — Речник, кто у бора — Боровик, кто у ольхи — Елетник. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище на -ник → фамилия Елетников («сын Елетника»).

Менее убедительная, но возможная версия — связь с глаголом «елесить» (льстить, хитрить) или «елец» (рыба). Однако для фамилии с суффиксом -ник такие основы дали бы формы Елесников или Ельцов, а не Елетников. География фамилии подтверждает «ольховую» версию: Елетниковы встречаются в основном в Курской, Белгородской, Воронежской областях — на территории исторического расселения южных великорусов, где слово «ялетник» было в ходу.

Словообразовательный нюанс: чередование «я/е» в корне. В документах XVIII–XIX веков фамилию могли писать как Ялетников, что прямо указывает на южное произношение. Со временем написание закрепилось через «е» — под влиянием литературной нормы или случайной записи писаря.

Таким образом, предок современных Елетниковых, скорее всего, жил в ольховых зарослях или рядом с ними. Никакого отношения к маслу, рыбе или лести фамилия не имеет — это чисто географическое прозвище, каких много в русской ономастике.