Фамилия Елинкины — редкий случай, когда суффикс указывает на коллективное или семейное происхождение, а не на индивидуальное. Форма на -ыны (а не на -ин) характерна для северных и некоторых центральных областей России: в старых переписях так записывали целые семьи или династии. Если бы фамилия была Елинкин, это значило бы «сын Елинки», а Елинкины — «из рода Елинкиных», то есть целый клан.

Основа фамилии — прозвище Елинка. Оно могло возникнуть от слова «ель»: так называли человека высокого, худощавого, с «колючим» характером или того, кто жил в еловом лесу. В русских говорах «елинка» — это и молодой ёлочный лес, и прозвище для долговязого парня. Второй, менее вероятный вариант — уменьшительная форма от канонического имени Елисей (через народное Еля). Но прозвищная версия убедительнее: в основе лежит бытовое, а не церковное слово.

Суффикс -к- в прозвище Елинка несёт уменьшительно-ласкательный или, наоборот, пренебрежительный оттенок. В XV–XVII веках так могли называть младшего члена семьи или человека невысокого социального статуса. Позже эта форма закрепилась как фамильное прозвание.

Географически фамилия тяготеет к Вятке и северо-востоку европейской России. В документах XVIII века встречаются крестьяне Елинкины из бывшей Вятской губернии — там фамилии на -ыны особенно распространены. В центральных губерниях форма обычно менялась на Елинкины — с ударением на первый слог, а в южных могла писаться через «о»: Елёнкины, но это уже другая ветвь.

Сословно Елинкины, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — отсутствие суффикса -ский и редкая основа указывают на простое происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах и ревизских сказках по Вятке, Пермской или Костромской губерниям.