Фамилия Еремейчук — типичный пример того, как в русской (и шире — восточнославянской) традиции оформилось имя человека в фамилию. В её основе лежит крестильное имя Еремей — народная форма канонического имени Иеремия (др.-евр. «возвышенный Богом»). Но интереснее здесь не корень, а суффикс.

Суффикс -чук указывает на западноукраинское или белорусское происхождение. В этих землях (Волынь, Подолье, Галиция) -чук означал «маленький» или «сын такого-то». То есть Еремейчук — буквально «сын Еремея», «малый Еремей». Такая модель образования фамилий (патроним на -ук/-юк, -чук) была особенно распространена среди крестьян и казаков, у которых не было дворянских приставок или окончаний на -ский. Если бы фамилия возникла в центральной России, она, скорее всего, звучала бы как Еремеев. А в северных говорах могла бы превратиться в Еремихин (от «Еремиха» — жена Еремея).

Имя Еремей в старину было очень ходовым, особенно в среде простого люда. Его носили не только крестьяне, но и купцы, и священники. Однако фамилия Еремейчук — однозначно поздняя (XVII–XVIII века) и закрепилась в тех регионах, где фамилии на -чук только начинали вытеснять традиционные отчества. Поэтому предок носителя этой фамилии, скорее всего, был не боярином и не помещиком, а свободным или зависимым земледельцем, ремесленником или мелким служилым человеком на западных окраинах Речи Посполитой, а затем и Российской империи.

Интересная деталь: в некоторых говорах имя Еремей могло стать прозвищем для ворчливого или неуступчивого человека (по фразеологизму «ерепениться»). Но в случае с фамилией Еремейчук это маловероятно — суффикс -чук слишком чётко привязан к отчеству, а не к прозвищу. Так что основная версия — прямая родственная связь: предок был сыном человека по имени Еремей, и это закрепилось в фамилии на века.