Фамилия Еремким — редкий пример «окающего» варианта в кругу фамилий, образованных от имени Еремей. Основа здесь — не книжная форма Еремей, а народная, «акающая» Ерёма, но записанная через букву «о»: Ерем-к-им. Суффикс -им указывает на принадлежность: Еремким буквально значит «из дома Еремка», где Еремок — уменьшительное от Ерёмы (Еремей). В русской ономастике фамилии на -им встречаются в основном в северных и центральных регионах, особенно в бывших новгородских землях, где окончание -им заменяло более привычное -ин. Так что географически фамилия, скорее всего, привязана к северо-западу России или к Поволжью.

Само имя Еремей — русская форма библейского Иеремия, что значит «возвышенный Богом» или «Бог возвеличит». Но в народе имя стало нарицательным для простоватого, немного упрямого человека — отсюда поговорка «Ерёма, Ерёма, сидел бы ты дома». Фамилия Еремким, в отличие от массовых Еремеевых и Ерёминых, сохранила именно эту «домашнюю», бытовую форму. Предок носителя фамилии, вероятно, звался Еремком — не официальным полным именем, а обиходным прозвищем-уменьшением, которое закрепилось за его потомками.

Интересно, что в написании Еремким отражена не только диалектная особенность (о вместо ё в корне), но и старая орфографическая норма: после шипящих и ц в XIX веке часто писали «о» под ударением там, где сейчас пишут «ё». Поэтому фамилия могла произноситься как Ерёмким, но на письме закрепилась в «окающем» варианте. Сравните с фамилиями Еремкин (от Ерёмка) или Еремеев — они образованы по той же модели, но с другими суффиксами. Еремким стоит особняком: это патроним в форме притяжательного прилагательного на -им, что встречается в десятки раз реже, чем на -ин или -ов.