Фамилия Евдокимчиков — редкий случай, когда суффиксальная цепочка длиннее самой основы. Если убрать патронимический суффикс -ов, остаётся Евдокимчик — а это уже не просто «сын Евдокима», а «внук» или «маленький Евдоким». Такая тройная конструкция (корень + -им + -чик + -ов) встречается нечасто и выдаёт фамилию, которая складывалась не в канцелярии, а в живой речи: сначала Евдоким, потом его сына назвали Евдокимчиком (ласкательно-уменьшительно), а уже внук пошёл как Евдокимчиков.

Основа — крестильное имя Евдоким. В переводе с греческого εὐδόκιμος (eudokimos) означает «славный», «пользующийся доброй славой». Имя было распространено в крестьянской и мещанской среде, особенно в центральных и южных губерниях России. Церковь почитает святого Евдокима Каппадокиянина, но в народе имя часто переделывали: Овдоким, Авдоким, отсюда и фамилии-дублёры — Авдокимов, Овдокимов.

Суффикс -чик в русских фамилиях обычно указывает на «сына» или «младшего» (ср. Иванович → Иванчиков). Но Евдокимчиков — не отчество, а скорее прозвище второго поколения. В документах XVIII–XIX веков так могли записать внука Евдокима, чтобы отличить от однофамильцев: «Евдокимов Иван, а внук его — Евдокимчиков».

Географически фамилия тяготеет к Курской, Орловской, Воронежской и Тамбовской областям — регионам, где имя Евдоким было особенно популярно. Встречаемость низкая: по открытым данным, носителей — не более нескольких сотен по всей России. Фамилия не дворянская, не купеческая — типичная поздняя крестьянская, закрепившаяся после отмены крепостного права, когда понадобилось фиксировать всех поголовно.

С точки зрения ударения — на второй слог: Евдокимчиков. Вариант Евдокимчиков (с ударением на третий) ошибочен, хотя в устной речи встречается. В написании путают с Евдокимчиковым, но это уже другая форма, от притяжательного прилагательного.