Фамилия Федькиа — редкий случай, когда написание подсказывает нерусское происхождение больше, чем звучание. В русской ономастике фамилии на -иа почти не встречаются, а если и попадаются, то, как правило, это заимствования или искусственные книжные формы. Скорее всего, перед нами не исконно русская фамилия, а вариант, возникший в среде, где фамилии оформляли по греческому или молдавскому образцу.

Если отбросить окончание, остаётся основа Федьк-, которая прямо указывает на уменьшительную форму имени Фёдор. В русском языке Федька — одно из самых распространённых народных сокращений от Фёдор (из греческого Theodoros — «дар Божий»). От этого прозвища в России образованы фамилии Федькин, Федьков, Федько (украинский вариант). Федькиа же стоит в этом ряду особняком: суффикс -иа мог появиться при записи фамилии в документах XIX века, когда священники или писцы, владевшие церковнославянским и греческим, «облагородили» простонародное Федька, придав ему форму, похожую на греческие имена (типа Анастасия, Евдокия).

Вероятнее всего, носитель фамилии Федькиа — потомок человека, которого в быту звали Федькой, но при оформлении метрических книг или ревизских сказок фамилию записали нестандартно. Такое могло произойти на юге России, в казачьих областях или в среде духовенства, где любили книжные новообразования. Альтернативная версия — фамилия могла быть адаптирована из греческого или болгарского языка, где окончание -иа встречается чаще, но тогда основа должна была звучать иначе (например, Фотиа от Фотий).

Географически фамилия крайне редкая. В современных базах данных она почти не встречается, что подтверждает её локальный и, возможно, угасший характер. Это не массовая фамилия, а скорее семейная аномалия, сохранившаяся в одном-двух родах. Если ваши предки носили Федькиа, стоит искать их в церковных записях XIX века — вероятно, в сёлах, где священник был склонен к грецизации имён.