Фамилия Галажинская — женская форма, мужской вариант — Галажинский. Если смотреть на её окончание и суффикс, она явно указывает на географическое происхождение предка. Суффикс -ск- в русских фамилиях чаще всего связан с названием местности: села, города или урочища. Владелец такой фамилии — тот, кто «с Галажина» или «из Галажина». Вопрос в том, где искать это место.

Самая прямая версия — топоним Галажин или Галажино. Такие названия могли возникнуть от прозвища или имени Галажа. Но в современной географии России и сопредельных славянских территорий населённых пунктов с точным названием «Галажино» почти нет. Зато есть украинское село Галажинцы — в Волынской области, на границе с ровенским Полесьем. Если фамилия действительно пошла оттуда, то её носители — выходцы из этого села, а сама фамилия имеет украинские или западнорусские корни. В пользу этого говорит и мягкое окончание — Галажинская (а не, скажем, Галажиновская), что типично для фамилий, образованных от названий на -ин.

Сама основа — Галаж — может восходить к личному имени Галата или Галактион (в народной форме Галах, Галаша), либо к прозвищу от диалектного «галазить» — глазеть, пялиться. В польском языке есть слово gałąź — ветвь, но для фамилии Галажинская это маловероятно: переход «л» в «ж» здесь нехарактерен. Более правдоподобна связь с украинским «галай» — крикун, горлопан, или «галайда» — бродяга, гуляка. В таком случае прозвище Галажа дали человеку шумному, беспокойному, а его потомки, переехав в другое село, стали зваться «галажинскими» — то есть из рода Галажи.

Фамилия встречается в основном на западе Украины, в Беларуси и в южных областях России — там, куда в XIX–XX веках переселялись крестьяне из Волыни. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия: шляхта с таким окончанием на -ский обычно носила топонимы с «-ов-» или «-ев-» (Галажовский), а здесь форма более простая, народная. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках Галажинские встречаются редко, что говорит о локальном бытовании фамилии — она не разошлась широко по империи, а осталась в границах одного региона.