Фамилия Гапанькова — женская форма от Гапаньков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Гапанько. Сразу видна характерная украинская или белорусская огласовка: суффикс -к-о типичен для юго-западных земель, где он выполнял роль уменьшительно-ласкательного или семейного окончания. В русском языке такое окончание обычно переходило в -ков, что мы и видим.

Основа фамилии — Гапан. Это, скорее всего, народная форма крестильного имени Агафон (от греческого «агатос» — добрый, хороший). В русских говорах имя Агафон нередко сокращали до Гапон, а в украинском и белорусском произношении «о» могло перейти в «а» — получился Гапан. Так что ваш предок, скорее всего, был Агафоном, которого в быту звали Гапаном или Гапаньком.

Есть и вторая, более прозаичная версия. В южнорусских говорах «гапать» означало «ловить ртом воздух», «задыхаться», а также «зевать», «ротозейничать». Прозвище Гапан могли дать человеку медлительному, рассеянному или тому, кто тяжело дышал. Но версия с именем выглядит надёжнее: фамилий от календарных имён в этой части России гораздо больше, чем от редких диалектных глаголов.

Примечательна география. Фамилия Гапаньков (и Гапанькова) встречается в основном в Курской, Белгородской и Воронежской областях — как раз на стыке великорусских и малорусских говоров. Это подтверждает смешанную природу: русский суффикс -ов наложился на украинскую основу с -ко. В XIX веке носители фамилии числились в основном государственными крестьянами и однодворцами — потомками служилых людей, охранявших южные рубежи.

Однокоренные фамилии — Гапонов, Гапёнкин, Гапанюк. Все они восходят к тому же имени Агафон, но каждая по-своему приспособилась к местной фонетике и словообразованию.