Фамилия Гапчуков образована по распространённой модели «основа + суффикс -ов», указывающей на принадлежность к роду (чей? — Гапчуков). Основа — прозвище или имя Гапчук, где суффикс -ук/-чук типичен для западнорусских, украинских и белорусских земель. Он уменьшительный и одновременно патронимический: в XVI–XVII веках на Волыни, Подолье и в Галиции -чук означал «сын такого-то» или «маленький, молодой». Стало быть, Гапчук — это «сын Гапа» или «маленький Гап».

Гап — сокращённая форма от крестильного имени Агапий (от греческого «агапэ» — любовь) или реже от Агафон (добрый, благой). В народе эти имена ужимались до односложных форм: Гап, Гапа. Так что в основе фамилии лежит каноническое имя, а сам Гапчуков — потомок человека по имени Гап (Агапий или Агафон).

Есть и вторая, более редкая версия: прозвище Гапчук могло возникнуть от диалектного глагола «гапать» — хватать, ловить, или от «гап» — звук захлопывания. В таком случае прозвище дали бы хваткому, расторопному человеку. Но эта гипотеза менее убедительна, потому что суффикс -чук в прозвищах обычно не указывает на действие, а привязывает к лицу.

Географически фамилия Гапчуков тяготеет к юго-западу России и востоку Украины. Судя по окончанию -ов, а не -ук, кто-то из предков переселился в великорусские губернии, где фамилию русифицировали, добавив стандартный суффикс принадлежности. В украинских и белорусских метриках Гапчуки встречаются чаще, чем Гапчуковы.

В сословном плане носители фамилии — скорее всего, крестьяне или однодворцы. Фамилии на -чуков нехарактерны для дворянства, которое чаще брало фамилии на -ский или -ов от названий имений. А вот в среде казачества и крестьянства такая модель обычна.

Однокоренные фамилии — Гапчук, Гапов, Гапин, Агапов. Последняя, кстати, гораздо распространённее, но образована от полной формы того же имени.