Фамилия Гапчукова — женская форма фамилии Гапчуков, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. В русской ономастике фамилии на -уков (-юков) встречаются реже, чем на -ов и -ев, и почти всегда указывают на прозвище или имя, оканчивающееся на -ук (-юк). В данном случае основа — «Гапчук», а суффикс -ов добавили по стандартной модели: чей сын? Гапчуков. Такое окончание типично для западнорусских земель, особенно для территорий, где смешались русский, белорусский и украинский диалекты — Брянщина, Смоленщина, юг Псковщины.

Сама основа «Гапчук» — это, скорее всего, производное от личного имени или прозвища Гап (Гапа). Имя Гапа — народная, уменьшительная форма от канонического Агапий (от греческого «агапе» — любовь) или от Агафон (благой, добрый). В просторечии начальное «а» часто отпадало, и Агап превращался в Гапа. Суффикс -чук (уменьшительно-ласкательный, а в фамилиях часто патронимический) характерен для украинской и белорусской традиции: Гапчук значит «маленький Гапа» или «сын Гапы».

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с диалектным словом «гап» — в некоторых говорах так называли неловкого, неуклюжего человека, либо звукоподражание быстрому движению (ср. «гапнуть» — схватить). Но в качестве прозвища такой корень встречается редко, и имя собственное Гапа выглядит убедительнее.

Исторически носители фамилии Гапчуковы, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми. Фамилия не дворянская, не книжная — она сформировалась в среде, где фамилии давали по отцу или по прозвищу, без претензий на родовитость. В документах XIX века Гапчуковы встречаются преимущественно в западных губерниях Российской империи, но из-за редкости фамилии массовой географической статистики по ней нет.

Обратите внимание на написание: вариант «Гапчукова» с ударением, вероятно, на второй слог (Гап-чу-ко-ва), хотя в разговорной речи могли ставить и на последний. Это не влияет на происхождение, но отличает фамилию от похожих на слух «Капчуковых» или «Гапчёнковых» — у тех другая суффиксальная история.