Фамилия Гарасимюк звучит как типичная украинская, и это верное первое впечатление. Её выдает суффикс -юк, который в украинской ономастике выполняет ту же роль, что и русские -ов/-ев: он указывает на родство, чаще всего — на сына или потомка человека, чье имя легло в основу.

Основа здесь — крестильное имя Гарасим. Это народная, украинская форма канонического церковного имени Герасим. Имя греческого происхождения, означает «почтенный» или «уважаемый». Таким образом, Гарасимюк в буквальном смысле — «сын Гарасима», то есть потомок человека по имени Герасим. В старых документах и в быту имя могло звучать как Гарасим, Гарась, Гарасимко, и от любой из этих форм могла образоваться фамилия.

Модель образования на -юк особенно характерна для западных и центральных регионов Украины: Волыни, Подолья, Галичины. Если ваш род происходит оттуда, то фамилия могла закрепиться именно в таком виде. Интересно, что в русском языке аналогичная фамилия звучала бы как Герасимов, а в белорусском — как Гарасимовіч или Герасімчык. Суффикс -юк — маркер именно украинской традиции именования.

Встречаются варианты написания: Герасимюк (с «е» в корне, под влиянием литературной нормы) или Гарасимчук (с суффиксом -чук, что тоже возможно для этой территории). Но именно форма Гарасимюк с «а» в первом слоге — исконная, разговорная, и она лучше всего сохраняет народное звучание имени.

Социальный контекст прост: фамилия принадлежала крестьянскому или казацкому сословию. Никакого дворянского титула или особого статуса за ней не стоит. Это фамилия человека, которого в документах записали по отцу — Гарасиму, вероятно, уважаемому или просто заметному в своей общине человеку.