Фамилия Гарькавой — одна из тех, что раздражающе часто склоняют неправильно, но за ней стоит прозрачная и довольно неожиданная история. Если отбросить путаницу с окончанием, основа у неё одна — корень «горьк-», но в диалектном звучании.

Главное, что нужно понять: перед нами типичная украинская фамилия, образованная от прозвища. В русском языке мы бы сказали «Горький» (от слова «горький» — несчастный, либо тот, кто ест горькое, либо человек с тяжёлым характером), но в украинской фонетике звук [о] в закрытом слоге перешёл в [і] (так называемое «ікання»). Так и получилось: «гіркий» → «Гіркавий» (с суффиксом -ав-, который придаёт оттенок неполноты качества — «горьковатый»). А на письме, под влиянием акающих говоров или просто при записи на слух, «Гіркавой» могло превратиться в «Гарькавой».

Вторая версия, менее популярная, но не лишённая логики: связь с глаголом «гарькать» (кричать, сердито ворчать, браниться). В таком случае прозвище Гарькавый получал сварливый, бранчливый человек. Однако эта версия слабее: слово «гарькать» — довольно редкое, локальное, а фамилия Гарькавой встречается не в одном-двух сёлах, а рассеяна по всей Украине и югу России. Украинская модель с корнем «гірк-» объясняет массовость лучше.

Обратите внимание на суффиксальную модель. Фамилия оформлена не стандартным русским суффиксом -ов (как в фамилии Гарькавов), а по украинскому образцу — с окончанием -ой, которое в русском языке воспринимается как окончание прилагательного женского рода. На самом деле это старый краткий именительный падеж прилагательного: «Гарькавой» = «Гарькавий» (горьковатый). Такие фамилии (Дурной, Толстой, Кривой) в украинской традиции часто не склонялись по падежам, а в русской — начали склоняться, что и порождает путаницу.

Географически фамилия плотно сидит в центральных и восточных областях Украины (Полтавщина, Черкащина, Харьковщина), а также в Краснодарском крае и Ростовской области — зонах массового переселения украинских крестьян в XVIII–XIX веках. Сословно это почти всегда крестьянство или казачество: прозвища по вкусу или характеру давали в среде, где фамилии ещё не устоялись.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был человеком с нелёгким нравом или нелёгкой судьбой — «горьковатым» в прямом или переносном смысле. Никакой тайны, только живой язык и диалектная фонетика.