Фамилия Гаряевый — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение вернее, чем звучание. Окончание -ый (а не -ов или -ев) прямо указывает на южнорусские, украинские или белорусские корни. В великорусских землях такие фамилии закреплялись за казачеством и однодворцами. Если бы фамилия была «Гаряев», её можно было бы спутать с десятком других, но форма «Гаряевый» сужает поиск до вполне конкретного региона — скорее всего, юг России или восток Украины.

Основа фамилии — прозвище Гаряй. В русских говорах «гаряй» или «горяй» — человек горячий, вспыльчивый, нетерпеливый, тот, кто «горит» на работе или в ссоре. Слово связано с «гореть», «горячий», но через диалектное аканье (произношение «о» как «а») и твёрдый конечный согласный. В украинском языке «гарячий» значит «горячий», и прозвище Гаряй могло закрепиться за человеком с пылким нравом. Менее вероятна, но возможна связь с тюркским «гаря» (смотреть, глядеть) — такое прозвище мог получить зоркий или подсматривающий человек.

Модель образования простая: к прозвищу Гаряй добавили суффикс -ев- (по правилу после мягкого согласного «й») и окончание прилагательного -ый. Получилось «Гаряевый» — буквально «сын Гаряя» или «человек из рода Гаряя». В документах XIX века такие фамилии нередко писали через «о» — «Горяевый», и вариант с «а» мог закрепиться из-за местного произношения. Стоит проверить старые метрики: если предки жили в Воронежской, Курской или Харьковской губерниях, версия с «а» почти наверняка исходная.

Социальный контекст: носители фамилии Гаряевый, скорее всего, относились к государственным крестьянам или казакам. Дворянские роды с таким окончанием встречаются редко — это признак «простой», не аристократической фамилии. В переписях XVIII–XIX веков Гаряевых почти нет среди московских бояр или петербургских чиновников; фамилия оставалась в сельской местности.

Если сравнивать с однокоренными: Гаряев, Горяев, Горяинов — все они восходят к тому же корню «гор-» (жар, пыл). Но Гаряевый выделяется именно суффиксом: он архаичнее, чем массовые -ов/-ев, и лучше сохраняет диалектную окраску. Сегодня фамилия встречается единично, что делает её ценной для генеалогии — найти однофамильцев почти невозможно, а значит, все носители, вероятно, потомки одной семьи или нескольких родственных родов из одного уезда.