Фамилия Гаурих — редкая для России, и её происхождение почти наверняка не славянское. В русском языке нет суффикса -их, который образовывал бы фамилии от славянских основ (как в случае с фамилиями на -их/-ых — Глухих, Белых). Здесь мы видим немецкий или еврейский (ашкеназский) след. Фамилия образована от личного имени Гаурих — варианта древневерхненемецкого имени Герих (Gerich) или Генрих (Heinrich). В основе лежат два корня: «гер» (копьё) и «рих» (правитель, богатый). Таким образом, имя Гаурих означало «богатый копьями» или «могучий воин». В славянской среде такое имя могло исказиться до Гаурик или Гаурих при записи в церковных книгах.

Есть и другая, менее вероятная версия — от немецкого слова «Gauer» (крестьянин, житель деревни) с добавлением суффикса принадлежности -их, то есть «крестьянский». Но она слаба, потому что суффикс -их в немецком языке не характерен для фамилий, а в русском он присоединялся бы к основе, которая уже была заимствована в устной речи.

Носители фамилии Гаурих в России — это, скорее всего, потомки немецких колонистов, переселившихся в Поволжье при Екатерине II, или обрусевших немцев из Прибалтики. Встречается фамилия и у евреев-ашкеназов, которые могли получить её при записи в метрики как искажённое «Гауэр» или «Гаури» (от идишского имени Герш, Херш). Географически фамилия фиксируется в западных регионах бывшей Российской империи, в частности в Волынской и Киевской губерниях, а также в немецких колониях Саратовской губернии. В современной России она остаётся редкостью — по открытым данным, в стране живёт не более нескольких десятков человек с такой фамилией.

Особенность фамилии в том, что её написание почти не менялось при переходе из немецкого в русский язык: она сохранила конечный согласный -х, что для немецких фамилий типично (ср. Клейн, Шмидт, но Гаурих — с озвончением на конце). Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах лютеранских приходов или в списках колонистов Поволжья — там она могла записываться как Gau(e)rich или Gau(e)rikh.