Фамилия Гаурская — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она образована от географического названия (топонимическая модель с суффиксом -ск-), что типично для польских, украинских, белорусских и дворянских русских фамилий. Суффикс -ск- указывает на связь с местностью: «Гаурский» — тот, кто родом из Гауры или Гаур.

Что такое Гаура? Самый вероятный корень — от слова «гаур», которое в ряде славянских диалектов (особенно западных) означало «глухарь», «тетерев», реже — «глухой, нелюдимый человек» (как прозвище). В польском языке gaur — это зубр (европейский бизон), но в русских говорах такое значение не зафиксировано. Однако фамилия могла возникнуть и от прозвища Гаур — так могли назвать человека с глуховатым голосом, необщительного или, наоборот, охотника на глухарей.

Есть и менее очевидная, но правдоподобная версия: топоним Гаура мог быть связан с гидронимом (названием реки) или балтийскими корнями. В Литве и Латвии встречаются названия вроде Gauja (Гауя) — от литовского «gauja» (стая, толпа) или «gaura» (пучок волос, косматый). Если предки носителя фамилии переселились из Прибалтики или из западнорусских земель, где такие названия встречались, фамилия могла закрепиться за выходцем из конкретного села.

В отличие от массовых фамилий на -ов/-ин, Гаурская — штучная. Она почти не встречается в центральных и северных областях России, чаще — на западе (Брянская, Смоленская области) или у потомков польской шляхты, переселившейся в XIX веке. Написание с окончанием -ая, а не -а (Гаурска) указывает на русифицированную форму от польской или украинской основы.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать в метрических книгах западных губерний Российской империи или среди мелкопоместной шляхты. Дворянского герба с таким названием нет, но это не исключает принадлежности к служилому сословию — фамилии на -ский часто давали при получении дворянства за выслугу.