Фамилия Гаврёва — женская форма фамилии Гаврёв, а та, в свою очередь, образована от мужского имени или прозвища Гавр. Здесь сразу возникает вопрос: что это за основа? В русском языке слово «гавр» не является ни общеупотребительным, ни старым литературным. Скорее всего, перед нами не полное имя, а производная форма от канонического имени Гавриил.

Гавриил — древнееврейское имя, означающее «муж Божий» или «сила Божья». В народной речи оно дало множество сокращений: Гаврила, Гавря, Гаврик, а также короткое Гавр. Такое стяжение (Гавриил → Гавр) встречается в говорах, особенно в северных и центральных регионах России, где любили усекать имена до одного слога. Соответственно, Гавром в быту называли человека по имени Гавриил, а его потомки получали фамилию Гаврёвы — «чьи?» — принадлежащие Гавру.

Суффикс -ёв в фамилии не случаен. В русской ономастике суффикс -ев (а под ударением — -ёв) присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. Если бы исходное прозвище звучало как Гавр (с твёрдым «р»), ожидалось бы Гавров. Но форма Гаврёв чётко указывает, что в основе лежало слово «гаврь» (с мягким звуком на конце) или, что вероятнее, имя Гавря. Гавря — ласкательное от Гавриил, а фамилия Гаврёв — это притяжательное прилагательное от него: «сын Гаври». Со временем безударное окончание могло редуцироваться, и в документах закрепилось написание Гаврёв.

Встречается фамилия нечасто, её география тяготеет к северо-западу России, где имя Гавриил было особенно популярно в крестьянской среде. В писцовых книгах XVI–XVII веков встречаются упоминания крестьян и посадских людей с именем Гавр или Гавря, что подтверждает бытовую распространённость этой формы. Никакого отношения к «гавани» или «гаврскому» (французскому) корню фамилия не имеет — это чисто русское образование от православного имени.