Фамилия Гавренко — типичный пример украинской модели образования фамилий с суффиксом -енко. В XVI–XVII веках этот суффикс в Поднепровье и на Слобожанщине означал «сын» или «потомок» (малый, молодой Гавр). Позже -енко закрепилось как фамильный формант, и сейчас это один из самых массовых суффиксов в украинской ономастике.

В основе фамилии лежит имя Гавр — просторечная, сокращённая форма крестильного имени Гавриил. Имя Гавриил пришло из древнееврейского «гаврийель», что переводится как «Божий воин» или «сила Божья». На Руси имя было хорошо известно благодаря Архангелу Гавриилу — одному из высших ангелов в христианстве. Именно он, согласно Евангелию, возвестил Деве Марии о рождении Иисуса Христа. В русской геральдике Архангел Гавриил также появляется: он изображён как один из щитодержателей на государственном гербе Российской империи.

В быту полное церковное имя Гавриил часто заменяли на более короткие формы: Гаврила, Гавря, Гавр. От одной из таких обиходных форм — Гавр — и пошла фамилия Гавренко. Буквально её можно расшифровать как «сын Гавра». Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Гаврилов — это вариант с русским суффиксом -ов, а Гавренко — с украинским -енко. Обе восходят к одному корню, но указывают на разную географию и традицию именования: -ов чаще встречается в северных и центральных русских землях, а -енко — в украинских.

Таким образом, предок носителя фамилии Гавренко, скорее всего, жил на территории современной Украины или юга России и носил имя или прозвище Гавр, а его дети и внуки закрепили эту связь в фамилии.