Фамилия Гавринёв — это отчество второго порядка, то есть она отвечает на вопрос «чей внук?»: Гавринёв — сын Гаврина, внук Гаври. Исходное имя Гавря — одна из множества уменьшительных форм крестильного имени Гавриил (древнееврейское «Божья крепость»). От Гавриила в русском языке образовался целый ряд обиходных вариантов: Гаврик, Гаврюша, Гаврилка, Гавша, Ганя и, наконец, Гавря.

На что стоит обратить внимание — на суффикс -ёв. В фамилиях на -ёв ударение почти всегда падает на последний слог, и это отличает их от более частых фамилий на -ов. Здесь ударение фиксированное: Гавринёв. Такая модель характерна для фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или шипящий: Гавря — Гаврин — Гавринёв.

Географически фамилия редкая. Встречается преимущественно в центральных и северных областях России, где были распространены уменьшительные формы на -ря (Гавря, Петря, Митря). Если ваш предок носил фамилию Гавринёв, скорее всего, он происходил из крестьянской или мещанской среды: в дворянской среде такие «домашние» формы отчества обычно не закреплялись.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) фамилии на -инёв/-ынёв рассматриваются как характерная русская модель, но массово не описываются из-за малочисленности. Спорных версий здесь нет: корень очевиден, и альтернативная этимология (например, от прозвища Гавря в значении «разиня» или «простак») маловероятна, так как имя Гавря в первую очередь связано с каноническим Гавриилом.

Таким образом, значение фамилии прозрачно: вы — потомок человека, которого в быту звали Гавря. Фамилия сохранила ту самую ступень родства, которая уже не ощущается в простых фамилиях вроде Гаврилов, но в Гавринёве она читается буквально.