Фамилия Гавроев — один из тех редких случаев, когда за привычным суффиксом -ев скрывается не отчество от крестильного имени, а прозвище, связанное с птицей. Основа здесь — «гавра», диалектное название галки или вороны в южнорусских и украинских говорах. В словаре Владимира Даля «гавра» отмечена как птица семейства врановых, часто с оттенком «разиня, ротозей» — так могли назвать невнимательного или рассеянного человека.

Словообразовательная модель проста: прозвище Гавро (или Гавря) плюс притяжательный суффикс -ев, который в русских фамилиях отвечал на вопрос «чей?» — то есть «сын Гавры». Ударение в фамилии падает на второй слог: Гавро́ев, что типично для форм с полногласным корнем и суффиксом. Интересно, что в некоторых областях «гаврой» называли не только птицу, но и неопрятного, лохматого человека — возможно, прозвище давали за внешнее сходство со взъерошенной галкой.

Фамилия редкая, её географическое распространение невелико. По данным открытых источников и ономастических справочников, Гавроевы встречаются в основном на юге России — в Ростовской области, Краснодарском крае, а также в восточных районах Украины. Это совпадает с ареалом бытования слова «гавра»: оно характерно для донских и кубанских говоров, где смешались русские, украинские и тюркские языковые элементы.

В отличие от распространённых «птичьих» фамилий Воробьёв, Соколов или Галкин, Гавроев избежала массового закрепления за духовенством или дворянством. Она осталась в крестьянской и казачьей среде. Сравните с однокоренной фамилией Гавриленко — там основа та же, но суффикс -енко указывает на украинское происхождение и модель «малый, потомок». Гавроев же чисто русская по форме, хотя могла возникнуть и в среде украинских переселенцев, адаптировавших прозвище под русскую фамильную норму.

Есть и более прозаичная версия: от имени Гавриил через просторечную форму Гавря. Но она менее вероятна — от Гавриила обычно образовывались фамилии Гаврилов, Гаврилин, Гаврюшин. Форма Гавроев звучит как разговорное сокращение именно от прозвища, а не от канонического имени. Спор решается просто: если бы фамилия была от имени, мы бы ждали варианта Гавриев, а не Гавроев, с характерным выпадением -р-.