Фамилия Гавроикова — редкий случай, когда на слух она кажется славянской, а по словообразовательной модели тянет за собой целый клубок вопросов. Основа здесь — не имя и не прозвище в привычном виде, а скорее всего, искажённое или диалектное производное от канонического христианского имени Гавриил.

Разбираем механику. Суффикс -ов- указывает на принадлежность («чей?»), типичную для русских фамилий XIX века. Но что за корень «Гавроик»? В официальных святцах такого имени нет. Самая прямая версия: перед нами народная, «бытовая» форма имени Гавриил. В русских говорах имя нередко ужималось и перекраивалось: Гаврила, Гавря, Гаврик. Форма «Гавроик» могла возникнуть под влиянием других имён на -оик (сравните с Антоик от Антон) или как результат местного произношения, где звуки смещались. Таким образом, Гавроик — это вариант имени Гаврила, а Гавроиков, соответственно, сын Гавроика.

Менее вероятная, но допустимая версия — прозвищное происхождение от слова «гавра» или «гаврик». В некоторых южнорусских и украинских говорах «гавра» означала ротозея, разиню или человека с большим ртом. Однако в паре с суффиксом -оик такое прозвище выглядит натяжкой: прозвища обычно образовывались проще (Гавря, Гаврик), без лишнего слога.

Географически фамилия Гавроикова — редкая и локализованная. Встречается преимущественно в южных областях России (Ростовская, Волгоградская области) и на востоке Украины, где диалектные формы имён были особенно живучи. Это косвенно подтверждает версию с народной формой Гавриила: именно в казачьих и крестьянских средах имена часто «обкатывались» до неузнаваемости.

Социальный контекст прост: фамилия однозначно крестьянская или мещанская. Дворянских родов с таким окончанием и такой редкой основой не зафиксировано. Носитель фамилии, скорее всего, потомок человека, которого в быту звали Гавроиком — и это имя записали в церковной метрике или ревизской сказке так, как слышали, а не по святцам.