Фамилия Гаврушко звучит нарочито по-украински, и это верная зацепка. Её выдают уменьшительно-ласкательные суффиксы -ушк- и -к-. В украинской и белорусской традиции такие суффиксы (особенно -к- в конце) — один из главных маркеров фамилии: они указывают не на отца, а на самого человека, его прозвище или малолетнее имя.

Основа — Гавр. Это усечённая форма от крестильного имени Гавриил (в переводе с древнееврейского «Божья крепость» или «сила Божья»). В народном быту имя перекраивали: на русском севере — Гаврила, в юго-западных землях — Гаврило. Отсюда пошли десятки фамилий: Гаврилов, Гавриленко, Гаврилюк. Но Гаврушко стоит особняком: здесь работает суффикс -ушк- (Гавруш — уменьшительное, почти ласкательное от Гаврила), к которому добавили финальное -о. Такая модель типична для украинских фамилий, образованных от прозвищных форм: Богдашко, Ивашко, Павлушко. То есть Гаврушко — это не «сын Гаврилы» (как Гаврилов), а сам «маленький Гаврила» или просто Гаврила, названный ласково.

Географически фамилия густо рассыпана по западным областям Украины — Львовской, Тернопольской, Ивано-Франковской, а также встречается в южных районах Беларуси. В России она редка и почти всегда указывает на корни переселенцев с Украины. По происхождению носители — скорее всего, крестьяне или мещане: сложные фамилии с суффиксом -к- у шляхты и духовенства встречались реже, а вот простой люд охотно звали по уличному прозвищу, которое потом закреплялось в документах.

Интересная деталь: в старых польских и украинских метриках можно найти написание Gawruszko (через «w»). Это не ошибка, а отражение польской орфографии, где латинская «w» читается как русское «в». Так что, если ваши предки писались через «w», это верный признак того, что фамилия оформлялась в условиях Речи Посполитой или Австро-Венгрии.

Споров вокруг этимологии почти нет. Единственная альтернативная версия — связь с диалектным словом «гаврити» (говорить, болтать), но она слабая и не подкреплена словообразовательной логикой: суффикс -ушк- в украинских фамилиях почти всегда прирастает к личному имени, а не к глагольной основе. Так что Гаврушко — это, вне сомнений, «Гаврила, которого звали ласково».