Фамилия Гавюк — редкая и неочевидная для русского уха. Её основа — Гав- — сразу отсылает к имени Гавриил или его производным (Гаврила, Гаврик, Гавша), но суффикс -юк указывает совсем на другую традицию.

Дело в том, что -юк — типичный украинский, белорусский и южнорусский патронимический суффикс, соответствующий великорусскому -ов/-ев и польскому -ович. Он означает «сын» или «потомок». Соответственно, Гавюк — это «сын Гавы» или «потомок Гаврилы». Имя Гава — это разговорная, сокращённая форма от Гавриил, вполне обычная в крестьянской среде XIX века. В украинских говорах такое усечение (Гав вместо Гаврило) встречается нередко, как, например, Кузьма даёт Кузюк, а Трофим — Трофимюк.

Словообразовательная модель здесь простая: основа Гав- + суффикс -юк. Ударение, скорее всего, на последний слог: Гавю́к. В русском языке фамилия выглядит как редкий заимствованный вариант, а в украинском — как рядовая патронимическая фамилия, каких тысячи.

Географически Гавюк тяготеет к западным и центральным областям Украины — Волынь, Подолье, Киевщина, а также к югу Беларуси. В России эта фамилия встречается точечно, чаще всего как след переселения крестьян в XIX — начале XX века. В ревизских сказках и метрических книгах XIX столетия её можно найти на Правобережной Украине, особенно среди казацких и крестьянских родов.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда основу Гав- пытаются связать с диалектным глаголом «гавкать» (лаять) и видят в ней прозвище говорливого или сварливого человека. Но это маловероятно: прозвища на -юк от глаголов почти не образуются, а от имён — сплошь и рядом. Поэтому версия с Гавриилом остаётся основной и единственной правдоподобной.

В дореволюционной России фамилия не давала информации о сословии: её носителями могли быть и государственные крестьяне, и мещане, и казаки. Среди известных людей с фамилией Гавюк нет громких исторических фигур, но в советское и постсоветское время она изредка встречается в науке и спорте — например, в украинском футболе.

Если ваши предки — Гавюки, с большой вероятностью они происходят из украинского или белорусского села, а их родоначальника звали Гаврилой.