Фамилия Гайдаржи — редкий пример того, как восточное имя обрастает русским суффиксом, но сохраняет тюркский отпечаток. В основе лежит имя Гайдар (Хайдар), которое с арабского переводится как «лев». Называя сына Гайдаром, родители желали ему силы, здоровья и крепости — качеств, приписываемых царю зверей. В ономастике такие имена называют «охранительными»: считалось, что имя-оберег передаст ребенку свойства своего значения.

Ключевая особенность фамилии — суффикс -жи. В тюркских языках этот аффикс образует названия профессий и деятелей (например, чабан — пастух, чабанжи — пастух-профессионал). В русских фамилиях он встречается крайне редко и почти всегда выдает среднеазиатские или крымские корни рода. Фамилии на -жи — это, как правило, русифицированные варианты тюркских прозвищ: потомки ремесленников, торговцев или воинов, которые сменили регион, но сохранили в фамилии указание на занятие или прозвище предка.

Таким образом, Гайдаржи — это не «сын Гайдара» в привычном славянском понимании (с суффиксом -ов/-ев), а человек, связанный с обладателем имени Гайдар: либо его прямой потомок, либо член рода, где это имя было родовым. Встречается фамилия в основном в южных регионах бывшей Российской империи: в Бессарабии (современная Молдова и Одесская область), в Крыму и среди гагаузов. В этих местах тюркские имена и суффиксы легко смешивались со славянскими фамильными моделями, давая такие необычные формы, как Гайдаржи.