Фамилия Гайдаржинская — одна из тех, что сразу выдают южное происхождение. Её основа — не русское, а тюркское или румынское слово, а суффикс -ск- указывает на то, что фамилия образована от географического названия. Проще говоря, предок носительницы этой фамилии, скорее всего, происходил из села или местечка с названием Гайдаржи или Гайдаржа.

Разберём основу. «Гайдаржи» — это профессиональное прозвище, распространённое у тюркских народов (особенно у гагаузов, ногайцев, а также в Молдавии и на юге Украины). Оно образовано от слова «гайдар» (или «хайдар») — пастух, погонщик скота, иногда — конюх. Суффикс -джи (или -жи) в тюркских языках обозначает человека по роду занятий, как русское -щик. Таким образом, Гайдаржи — «пастух», «тот, кто пасёт лошадей или овец». Такие прозвища давали не просто так: предок мог быть не рядовым пастухом, а старшим табунщиком или владельцем отары.

Дальше в дело вступает восточнославянская модель. Когда человек из села Гайдаржи (или из семьи Гайдаржи) переезжал и получал фамилию, ему добавляли типичный для дворянских и мещанских фамилий суффикс -ский/-ская. Это означало «принадлежащий к этому месту» или «выходец оттуда». В Российской империи так оформляли фамилии полякам, украинцам и молдаванам, переселявшимся в центральные губернии. Фамилия Гайдаржинская — женская форма; мужская — Гайдаржинский.

Вероятнее всего, фамилия закрепилась на территории Бессарабии (современные Молдавия и Одесская область Украины) или в Таврической губернии, где жили гагаузы и болгары. Там и сегодня встречаются сёла с названиями Гайдар, Гайдаржи, Гайдаржия. Мужчины-Гайдаржинские часто были крестьянами или мещанами, но не исключено, что кто-то из них выслужил личное дворянство на военной или гражданской службе — суффикс -ский это допускает. Сословная принадлежность у этой фамилии не единая, поэтому гадать, был ли предок бедным пастухом или зажиточным колонистом, можно только по региональным архивам.

В написании стоит обратить внимание на букву «и» перед -нская. Она не случайна: это притяжательный суффикс, указывающий на принадлежность роду Гайдаржи, то есть «из рода Гайдаржи». Если бы фамилия звучала как Гайдаржская, она означала бы просто «из села Гайдаржа», но с «и» подчёркивается именно семейная, родовая связь. Такая деталь встречается нечасто и делает фамилию более личной, нежели чисто топонимической.