Фамилия Гайдау сразу обращает на себя внимание нехарактерным для русского языка окончанием. В исконно русских фамилиях редко встретишь конечное -ау, что указывает на иноязычное, скорее всего, немецкое происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия немцев-колонистов, переселившихся в Россию в XVIII–XIX веках по приглашению Екатерины II.

Основа фамилии — немецкое слово Heide (произносится «ха́йде»), что значит «пустошь, степь, вересковая равнина». Суффикс -au в немецкой топонимике и фамилиях часто означает «луг, пойма, водный луг» (сравните с названиями типа Браунау, Линдау). Таким образом, Гайдау (Heideau) можно перевести как «луг на пустоши» или «вересковый луг». Это типичная немецкая фамилия-топоним, образованная от названия местности, где жил первый носитель.

В России фамилия Гайдау встречается крайне редко. Её можно найти в Поволжье, где исторически существовали немецкие колонии, а также в Омской области и других регионах, куда ссылали или эвакуировали советских немцев. Написание фамилии могло варьироваться: в старых метрических книгах встречаются варианты Гайдау, Гайдауф, Гайдауэр, что отражает особенности произношения в разных диалектах.

Словообразовательная модель проста: основа (топоним или описание ландшафта) + типичный немецкий суффикс места. Приставки или русифицирующие суффиксы типа -ов/-ев в этой фамилии не появились — она вошла в русский обиход в исходной форме, что говорит о сравнительно позднем и «документальном» закреплении.

Если ваши предки носили фамилию Гайдау, с высокой вероятностью они были немецкими колонистами-земледельцами или ремесленниками. Сословно — скорее всего, крестьяне или мещане, реже — пасторы или учителя в немецких поселениях. Дворянской ветви у этой фамилии не прослеживается.