Фамилия Гайденко образована по распространённой восточнославянской модели с суффиксом -енко, который в украинской ономастике указывает на потомка или принадлежность («чей-то сын»). Основа — прозвище Гайдей, так что Гайденко буквально означает «потомок Гайдея».

Само прозвище Гайдей происходит от украинского слова «гайдей» — «пастух». Это типичное профессиональное именование: Гайдеем называли того, кто пас скот. Такие прозвища часто становились наследственными фамилиями, особенно в среде крестьян и казаков, где ремесло или занятие переходило от отца к сыну.

Существует и менее вероятная версия, возводящая фамилию к арабскому имени «Хайдар» (лев). Однако для украинской языковой среды это объяснение выглядит натянутым: в народной среде не было массовых контактов с арабским именником, а слово «гайдей» в значении «пастух» хорошо задокументировано в диалектах.

Ещё одна гипотеза связывает прозвище с немецким восклицанием «heida» — «айда», «пошли». Но эта версия спекулятивна: междометия редко становятся основой для прозвищ, тем более для профессиональных.

Географически фамилия Гайденко сосредоточена на территории Украины, особенно в центральных и южных областях, что подтверждает её украинское происхождение. В русских губерниях она встречается реже, обычно как след миграции малороссийского населения.

Таким образом, наиболее правдоподобное объяснение: ваш предок носил прозвище Гайдей, потому что пас скот, а его дети и внуки стали Гайденками.