Фамилия Гажин — не самая прозрачная с точки зрения корня, но её словообразовательная модель типична для русского Севера и Поволжья. Суффикс -ин указывает на происхождение от прозвища или имени, оканчивающегося на -а/-я. В основе — слово «гажа». В диалектах русского языка, особенно в архангельских и вологодских говорах, «гажа» означает топкое место, грязь, болотистую почву. Человек мог получить прозвище Гажа, если жил у болота, на сырой земле или, в переносном смысле, был медлительным, «вязнущим» в делах.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с древнерусским именем Гага, которое давали по названию птицы (гага — морская утка). Тогда фамилия Гажин — это «сын Гаги», с переходом «г» в «ж» перед гласной, что встречается в живой речи (ср. «нога — ножной»). Но диалектное «гажа» как основа встречается в ономастике чаще: в писцовых книгах XVI–XVII веков фиксируются фамилии Гажин, Гажев, Гаженин именно в северных уездах.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов, которые охватывают почти всю Россию, Гажин географически привязан к северо-западу и северу — Вологодская, Архангельская области, а также бывшая Новгородская губерния. Там же встречается однокоренная фамилия Гажев, что указывает на вариант основы (Гаж — Гажа). Если ваш предок носил фамилию Гажин, он с большой вероятностью происходил из крестьян или посадских людей, живших на нечерноземье, где болотистая почва была привычным ландшафтом.

Сословная принадлежность фамилии невысокая: в дворянские родословные книги Гажины не входили, в списках купцов встречаются единично. Это типичная «географическая» фамилия, закрепившаяся за человеком по месту жительства. В современном русском языке корень почти утрачен, но в местных говорах слово «гажа» до сих пор можно услышать.