Фамилия Гажук звучит нехарактерно для русского уха — и это главная подсказка. Она явно западноукраинского или белорусского происхождения, что выдает суффикс -ук. В ономастике этот суффикс традиционно указывает на принадлежность к кому-то или на происхождение от кого-то: Гажук — буквально «сын или потомок Гажа» или «человек из семьи Гажа». Вариант «Гажук» мог также означать «маленький Гаж» или «ученик Гажа».

Корень «гаж-» — самый интересный и спорный момент. В белорусских и украинских говорах слово «гаж» означает «змея», «гад» или «нечисть». В таком случае прозвище Гаж могли дать человеку с недобрым, ехидным характером, либо тому, кто занимался истреблением змей — например, знахарю или пастуху. Но есть и более прозаичная версия: «гаж» могло быть диалектным вариантом слова «гадж» (гвоздь, колышек), и тогда прозвище относилось к плотнику или кузнецу.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить картину. «Гаж» как основа встречается в фамилиях Гажва, Гажевский, Гажук. Если бы корень был от польского «gaża» (жалованье, плата), то фамилия звучала бы как Гажевский или Гажовский — с типичным польским суффиксом. А вот форма «Гажук» тяготеет к украинской модели, где -ук характерен для западных областей (Волынь, Подолье, Галичина). Поэтому версия про змею или плотника правдоподобнее, чем про жалованье.

Географически фамилия Гажук сегодня встречается в основном в западных областях Украины и среди потомков переселенцев в России — на Кубани, в Ростовской области. В метрических книгах XIX века её можно найти в селах Волынской губернии, что подтверждает западноукраинский след. Дворянского происхождения у фамилии нет: носители Гажук были крестьянами или мещанами, ремесленниками. Фамилия не перешла в разряд «благородных», потому что не имела суффикса -ский или -ович, характерного для шляхты.

Если коротко: Гажук — это западноукраинская фамилия, образованная от прозвища Гаж, которое могло означать либо «змей» (по характеру или занятию), либо «гвоздь» (по профессии). Суффикс -ук прямо говорит: «чей-то сын».