Фамилия Гажинская — женская форма фамилии Гажинский, и её ключ к разгадке лежит не в корне, а в суффиксе. Окончание «-ская» (или «-цкая») в русских фамилиях традиционно указывает на польское или западнорусское происхождение (шляхетское или мещанское). Такие фамилии образовывались от названий населённых пунктов: Гажин, Гажа, Гажино. Если такой топоним существовал, то предок Гажинского был либо помещиком, владевшим этим местом, либо выходцем из него — человеком, который «с Гажина» или «из Гажина».

Корень «гаж-» — редкий и спорный. Самая вероятная версия: он восходит к диалектному слову «гажа» или «гаж». В южнорусских и украинских говорах «гажа» — это нечистота, грязь, отходы (отсюда же «гадить»). Прозвище Гажа могли дать человеку неопрятному или, наоборот, тому, кто работал с нечистотами — чистильщику выгребных ям, кожевнику (кожевенное производство было грязным). Вторая версия, менее вероятная, выводит корень из «гад» (пресмыкающееся) или из уменьшительного «Гажа» от имени Гавриил (в форме Гаврила → Гавра → Гажа).

С географической точки зрения фамилия Гажинский/Гажинская тяготеет к западу России и Украине. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — скорее всего, от одной конкретной деревни или усадьбы, которая дала прозвание первому носителю. В польской ономастике есть похожие фамилии (Gażynski, Gażyński), что подтверждает связь с Речью Посполитой.

Таким образом, перед нами типичная «географическая» фамилия польско-белорусского круга. Предки Гажинской, скорее всего, были мелкой шляхтой или зажиточными крестьянами, а их прозвище могло быть связано либо с местом жительства, либо с не самой благовидной профессией — но это не редкость для фамилий, которые со временем потеряли прямую связь с исходным значением.