Фамилия Гажина — женская форма фамилии Гажин, и её разумно начинать с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в основе лежит прозвище или имя, оканчивающееся на -а/-я. То есть предок носителя фамилии Гажин был известен как Гажа. Что это могло значить?

Самая прямая версия — прозвище от глагола «гадить» или «гажать» (в старых диалектах — пачкать, портить). Гажей называли неопрятного человека, неряху. В говорах слово «гажа» также означало «слякоть», «грязь», «жидкий навоз». Прозвище давали не обязательно с осуждением: в крестьянской среде его могли закрепить за тем, кто работал с навозом или жил в сырой низине.

Вторая, менее очевидная версия, отсылает к топонимике. В России есть несколько урочищ и речек с названием Гажа (например, река Гажа в бассейне Ветлуги). Фамилия могла возникнуть у человека, переселившегося с берегов такой реки. Но это реже: прозвищная версия для фамилии на -ин исторически первична.

С точки зрения морфологии, фамилия Гажина женская, а мужская — Гажин. Она относится к типичной русской модели, но не к самым частотным. Если сравнивать с однокоренными, то Гажин стоит в одном ряду с Гадиным, Гажуком (украинский вариант), Гадовым. Разница в суффиксах показывает, где и как закрепилось прозвище: -ин — в северных и центральных русских землях, -ов — в южных.

Никакой связи с фамилией Гагарина или с именем Гажа как производным от Гавриила нет — это народные этимологии без доказательств. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Гажин не выделен отдельно, но модель образования прозрачна. Носителей фамилии сегодня немного, она встречается в основном в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает диалектный характер основы.