Фамилия Гажийский — редкая и географически привязанная. Её суффикс -ский ясно указывает на польское или западнорусское происхождение: в Польше и на землях бывшей Речи Посполитой (Беларусь, Украина, западные области России) фамилии на -ский носили в основном шляхта и духовенство, позже они распространились и среди крестьян. Основа Гаж- (или Гажь-) скорее всего восходит к названию населённого пункта.

Вероятнее всего, Гажийский — это топонимическая фамилия, то есть образованная от названия места, где жил первый носитель. В Польше и Западной Украине есть несколько сёл с похожими названиями: Гаже, Гажы, Гажин. Например, село Гаже (Gąże) в Люблинском воеводстве, или Гажин (Gążyn) в Куявско-Поморском. Человек, переехавший из такого села в другой регион, получал прозвище «Гажийский» — то есть «тот, кто из Гажей». Со временем прозвище закрепилось как фамилия.

Другая, менее вероятная версия — от личного имени или прозвища Гажа. В древнерусском языке «гажа» означало «грязь, болото, топь» (отсюда же слово «гатить» — мостить дорогу через болото). Если предок получил прозвище Гажа за то, что жил у болота или работал гатчиком, то его потомки могли стать Гажинскими или Гажийскими. Однако суффикс -ский при такой основе встречается реже: обычно от прозвищ образовывали фамилии на -ин (Гажин) или -ов (Гажов).

Фамилия Гажийский почти не встречается в современных российских справочниках и базах данных — это штучный, локальный вариант. Её носители, скорее всего, происходят из западных областей (Брестская, Гродненская, Волынская) или из Польши. Несмотря на «благородный» суффикс, социальный статус предков мог быть любым: в XIX веке фамилии на -ский давали и крестьянам, особенно после отмены крепостного права, когда многим просто приписали фамилию по месту жительства.

Однокоренные фамилии — Гажин, Гажов, Гажевский, Гожевский. Если вы встретили Гажевского, это, скорее всего, тот же топонимический корень, но с другим суффиксальным оформлением.