Фамилия Генрих — одна из тех, что не образована на русской почве, а пришла в готовом виде из Западной Европы вместе со своим носителем. Её основа — личное имя Генрих, немецкий вариант древневерхненемецкого Хайнрих (Heinrich). Имя это составное: первая часть haim означает «дом», вторая rīc — «сила, власть». Самый прямой перевод — «правящий дома», «хозяин в доме». В Средневековье имя было настолько популярным, что дало десятки производных форм по всей Европе: английские Гарри и Герри, итальянский Энрико, французский Анри, скандинавский Хенрик. Фамилия Генрих, таким образом, — это застывшая в документах форма имени, которая закрепилась за предком, носившим это имя.

В русском контексте фамилия Генрих встречается редко и почти всегда указывает на немецкое, реже — на еврейское (ашкеназское) происхождение. Немцы-колонисты, переселявшиеся в Российскую империю в XVIII–XIX веках, привозили свои фамилии без изменений. В документах имя Генрих не переводили и не русифицировали — в отличие, скажем, от Андрея или Петра. Поэтому в метрических книгах лютеранских приходов Поволжья, Причерноморья или Петербурга можно встретить целые семьи с этой фамилией.

Интересная деталь: в католической традиции имя Генрих дали нескольким святым. Самые известные — Генрих Баварский (он же император Генрих II), считающийся покровителем Базеля, и Генрих, епископ Упсалы, почитаемый как небесный заступник Финляндии. Это добавляет имени дополнительный культурный слой: предок человека с фамилией Генрих мог быть назван в честь одного из этих святых.

В отличие от фамилий на -ов или -ин, фамилия Генрих не склоняется по падежам как русское прилагательное. Она ведёт себя как иноязычное заимствование — и это верный признак её нерусского происхождения. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, скорее всего, были выходцами из немецкоязычных земель или Прибалтики, а в Россию попали не раньше середины XVIII века.