Фамилия Герасимейко звучит как отголосок украинской или белорусской традиции, и это первое, что бросается в глаза. Её основа — каноническое крестильное имя Герасим, которое пришло на Русь из греческого языка и означало «почтенный» или «уважаемый». Но интереснее не корень, а суффикс: -ейко. В восточнославянской ономастике этот формант — характерная черта украинских и белорусских фамилий, особенно распространённых на землях бывшего Великого княжества Литовского. Он выполнял ту же роль, что и русские -ов/-ев и -ин: указывал на принадлежность к роду. То есть Герасимейко — это буквально «сын Герасима» или «потомок Герасима».

Если присмотреться к модели, то фамилия образована не напрямую от имени, а от его уменьшительной или патронимической формы — Герасимей. В украинском и белорусском языках такие формы с суффиксом -ей часто становились прозвищами, а затем закреплялись как фамилии. Сравните: Дорофей → Дорофейко, или Тимофей → Тимофейко. Похожая фамилия — Герасименко — встречается чаще, но именно вариант с -ейко выдает более архаичную или диалектную среду бытования.

Географически фамилия Герасимейко тяготеет к западным регионам: Черниговщина, Гомельщина, Брестчина. Встречается и среди потомков переселенцев на восток, но там её носителей заметно меньше. Интересная деталь: в старых метрических книгах фамилию могли записывать с вариациями — Герасимейка, Герасимейков, а то и просто Герасимов, если писарь «русифицировал» окончание. Это говорит о том, что фамилия долго не имела строго закреплённой письменной формы и жила в устной традиции.

Сословный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или казачьим. Фамилии на -ейко редко встречаются у дворянства — они пришли из народной среды, где имя Герасим было распространено среди простых людей. Никаких громких исторических личностей с этой фамилией в открытых источниках не прослеживается, и это нормально: основная масса таких фамилий принадлежала людям, которые не оставили следов в официальных хрониках, но передали имя своим детям.

Единственный спорный момент — могла ли фамилия возникнуть от прозвища, а не от имени? Теоретически да, если бы существовало слово «герасимей» с иным значением. Но в славянских языках такого слова нет, а все однокоренные фамилии (Герасимов, Герасименко, Герасимчик) восходят именно к имени. Так что версия с прозвищем — натяжка, и её можно отбросить.

В итоге: Герасимейко — типичная западнорусская фамилия, которая говорит о том, что ваш предок носил имя Герасим, а его дети или внуки получили прозвание «Герасимов сын» на местный лад.