Фамилия Герасимеко звучит как южнорусская или украинская, хотя её основа — древнее греческое имя. Разберёмся, как она устроена и где могла появиться.

В центре фамилии — мужское имя Герасим (от греческого «герас» — старость, уважение). Это имя носил святой Герасим Иорданский, известный по легенде о льве, которому он вынул занозу. В русской и украинской традиции имя было распространённым, особенно в крестьянской и казачьей среде.

Суффикс -енко — типичный для фамилий украинского происхождения. В XVII–XVIII веках он означал «сын такого-то» или «потомок». То есть Герасименко — буквально «сын Герасима». Но в вашем случае фамилия записана как Герасимеко. Это не ошибка, а редкий вариант окончания. В украинских говорах, особенно на Полтавщине и Черкащине, суффикс -еко мог закрепляться как местный диалектный вариант -енко. Иногда так фиксировали фамилию писцы, не расслышав твёрдого «н». Есть и другая версия: -еко — это след польского влияния или просто упрощение при адаптации фамилии в русском языке, когда «н» выпало.

Таким образом, Герасимеко — это почти то же, что и Герасименко, но с локальной особенностью написания. Предок носителя фамилии, скорее всего, жил на территории современной Украины или юга России (Курская, Воронежская области, где много украинских переселенцев). Он не был дворянином — фамилии на -енко в массе своей принадлежали крестьянам, казакам, мещанам. Имя Герасим в народе часто превращалось в прозвища: Герасимка, Герася, Расим. Интересно, что в некоторых регионах Герасимом могли назвать не только по святцам, но и в честь местного юродивого или просто уважаемого старика — имя несло оттенок почтения к возрасту.

Сравните с похожими фамилиями: Герасимов (русская, на -ов), Герасимчук (западноукраинская, на -чук), Герасимюк (полесская). Ваша — из центральной или восточной Украины. Если когда-нибудь встретите вариант Герасимеко с буквой «и» на конце (Герасимеки), это будет уже форма множественного числа, характерная для северных русских говоров (типа Глухих, Косых), но для вашей фамилии это маловероятно.