Фамилия Герасюто — редкий случай, когда географическая привязка говорит о происхождении больше, чем разбор по составу. Если вы встретили эту фамилию, скорее всего, её носители родом с белорусско-литовского пограничья, из бывшего Великого княжества Литовского. Основа фамилии — крестильное имя Герасим (от греческого «герас» — почёт, уважение). Но необычен суффикс: -юто. В русской ономастике такая модель почти не встречается, зато типична для литовских и западно-белорусских фамилий, образованных с помощью патронимического суффикса -ютис/-юто (лит. -iūtis). По сути, Герасюто — это «Герасимов сын» или «потомок Герасима», но переоформленный по балтийской модели.

Сравните с однокоренными: Герасимов — типично русский вариант, Герасимович — украинский или польский, а Герасюто — чёткий маркер литвинского (старобелорусского) происхождения. В документах XIX века такую фамилию могли записать как Герасюта или Герасютов, но исходная форма на -юто сохранилась именно у потомков мелкой шляхты или зажиточных крестьян западных губерний Российской империи (Виленской, Гродненской, Ковенской). Сословно: фамилия не княжеская и не боярская, но могла принадлежать однодворцам или «околичной шляхте» — обедневшему служилому люду, который держался за свои привилегии и отличительные фамильные окончания.

Единственная спорная версия — что -юто восходит к украинскому уменьшительному суффиксу -ют- (как в фамилиях Ковалюта, Андрюта). Но для украинской традиции типичнее окончание -юта (Герасюта), а не -юто. Твёрдое -о на конце — скорее балтийское влияние, где окончание -o в фамилиях мужского рода нормально (ср. литовские фамилии на -о: Буткус, но в русской передаче — Бутко). Поэтому версия с литовско-белорусским субстратом выглядит убедительнее.

Носителей фамилии мало, в современных базах данных она встречается единично, преимущественно в Беларуси и среди потомков эмигрантов первой волны в Литве. Если вы Герасюто — ваши предки почти наверняка не были крепостными в центральной России, а жили на западных рубежах, где русские, белорусские и литовские языковые традиции перемешивались столетиями.