Фамилия Гордашко звучит на южнорусский или украинский лад — и это первая зацепка. Суффикс -шк- в фамилиях характерен для западно- и южнославянских земель: в Польше, Беларуси, на западе Украины. В русской традиции он встречается реже, чаще в форме -шк-о (Гришко, Ивашко). Поэтому Гордашко, скорее всего, украинская или белорусская фамилия, образованная от уменьшительной формы имени или прозвища.

Основа — Горд-. Тут возможны два пути. Первый и самый очевидный: от прилагательного гордый. В старину «гордый» означало не только «надменный», но и «достойный», «видный», «знатный». Прозвище Гордый давали человеку с осанкой, уважаемому в общине, а не обязательно заносчивому. От этого прозвища пошли фамилии Гордеев, Гордин, Гордюков. Гордашко — уменьшительная форма: «маленький Гордый», то есть сын Гордого.

Второй, менее распространённый вариант: от имени Гордей. Это греческое имя (Γορδίας) связано с легендарным царём Гордием, завязавшим тот самый узел. В народе имя переосмыслили как «гордый», и уменьшительные формы (Гордя, Гордаш, Гордашко) давали как раз от имени. Если так, то Гордашко — это «сын Гордея», и фамилия стоит в одном ряду с Гордеевым, Гордюшиным.

Словообразовательная модель проста: основа Горд- + суффикс -ашк- (уменьшительно-ласкательный, как в «Ваняшко», «Петашко») + окончание -о. В украинской ономастике такие фамилии на -ко часто не склонялись и закреплялись как неизменяемые. В русском обиходе их могли адаптировать, но исконная форма сохранилась.

Географически фамилия тяготеет к Черниговщине, Полтавщине, а также к Гомельской области Беларуси. В дореволюционных переписях Гордашко встречается среди казаков и крестьян — сословных ограничений для такой модели не было. Дворяне предпочитали фамилии на -ов/-ев, а простонародье часто носило -ко, -енко, -ук. Так что предки носителя фамилии, вероятно, были либо казаками, либо свободными земледельцами.

В написании возможна путаница: Гордашко иногда записывали как Гардашко (под влиянием «гард» — «огород» в южных говорах), но корень здесь точно не «огородный». Вариант с «о» — основной и единственно верный по смыслу.