Фамилия Горша — один из тех случаев, когда за коротким звучанием скрывается сразу несколько возможных историй. Проще всего объяснить её происхождение от имени: в основе лежит мужское имя Герасим (в переводе с греческого — «почтенный»), а точнее его просторечная, народная форма Горша. Имя пришло на Русь из Византии вместе с христианством, и такие сокращения были в ходу: Герасим превращался в Герасю, Гарасю, а в некоторых говорах — в Горшу. Покровителем имени считается преподобный Герасим Вологодский, родом из Киева. В этой версии фамилия — типичный пример того, как отчество, образованное от обиходного варианта имени, со временем закрепилось за потомками.

Однако имя — не единственный источник. Фамилия могла возникнуть и напрямую от прозвища Горша, которое давали горшечнику — человеку, делавшему или продававшему глиняную посуду. Такие прозвища по ремеслу были распространены повсеместно, и фамилии вроде Горшков, Горшечников встречаются часто. Горша в этом ряду — более редкая, «личная» форма, без типового суффикса.

Есть и третья, менее очевидная версия. В северных и сибирских говорах бытовало наречие «горше» — «хуже, тяжелее». Исследователи не исключают, что прозвище Горша могли дать человеку с тяжёлым характером или тому, кто, как говорили в народе, «делает хуже прежнего». Прямых документальных подтверждений этой гипотезе немного, но она объясняет, почему фамилия не получила массового распространения: прозвище не из лестных.

В «Ономастиконе» академика С. Б. Веселовского упоминаются родственные фамилии и прозвища с корнем «горш-»: Константин Горшок, холоп (1603 год, Новгород); Казарин Петрович Горшков (1550 год, Переяславль); а также бояре Горшковы, известные с XV века в Новгороде. Сама фамилия Горша встречается заметно реже, чем Горшков, и это дополнительный намёк на её происхождение: скорее всего, она не от ремесла (иначе была бы распространена шире), а от личного имени или индивидуального прозвища.

Какую из версий считать основной — решать носителю фамилии. Но если опираться на частоту и логику словообразования, то вероятнее всего: Горша — это сокращение от Герасим, а фамилия закрепилась за его потомками.