Фамилия Гострыы — редкий случай, когда написание сразу бросается в глаза. Двойное «ы» на конце — не опечатка и не ошибка переписчика, а вполне осмысленная, хоть и нечастая модель. Это фамилия, застывшая в форме множественного числа родительного или предложного падежа, — так называемая «украинская» модель на -ы, но с удвоением. В украинской ономастике фамилии на -ый, -ий при русификации иногда получали окончание -ы, а если исходная форма была Гострий, то в родительном падеже множественного числа (от кого? — от Гострих) или в предложном (при ком? — при Гострих) возникало «Гострих», но здесь мы видим именно «Гострыы». Вероятнее всего, это графическая фиксация произношения: в говорах, где «и» переходит в «ы», а окончание -ых звучит как -ыы, писарь записал фамилию так, как слышал. Такое встречается в северных и сибирских записях XVII–XIX веков, где местные диалекты не различали «и» и «ы» после твёрдых согласных.

Основа фамилии — «гостр-», что в украинском и некоторых южнорусских говорах означает «острый». Гострый — то же, что Острый: человек с острым языком, быстрый, проницательный, либо мастер по заточке (ножей, кос, топоров). В польском языке «gostry» — тоже «острый», так что возможен и западный след. Фамилия могла возникнуть как прозвище Гострый, а затем, при оформлении в официальный документ, её записали в форме множественного числа — так часто называли всю семью: «Гострыы» (то есть «из дома Гострих»). Удвоенное «ы» — это попытка передать на письме долгий звук, который в живой речи отличал эту фамилию от похожих.

Географически фамилия Гострыы почти не встречается в современных справочниках, но единичные носители фиксируются в архивах Курской и Воронежской губерний, а также среди переселенцев в Сибирь. В XIX веке такая фамилия могла принадлежать крестьянам или однодворцам — людям, которые несли пограничную службу на южных рубежах России. Сравните с однокоренными: Гострый, Гостриков, Гострин — все они восходят к тому же прозвищу, но Гострыы выделяется именно своей грамматической конструкцией. Если у вас эта фамилия, скорее всего, ваши предки были выходцами из среды, где говорили на «окающем» или «якающем» говоре, а писарь, записывая их, не стал подгонять фамилию под литературную норму, а оставил живое звучание. В этом и ценность: фамилия — прямая запись речи, а не книжная выдумка.